Sayısal Analiz (İlk bölüm )

Hadi bir iki denkleme bakalım:

f(x)= sin(x)+e^2+2*x+4

f(x)=cos(x)+sin(x)-e^3

Hesap makinesi olmadan çözmek zor oluyor de mi. Her denklem çarpanlarına ayırarak analitik olarak çözülemiyor. Bazı denklemler için mesela yukarıdaki gibi denklemler gibi lineer olmayan bir bilinmeyenli denklemler için matematikte çözmek için bazı yöntemler türetilmiştir. Bu blog yazısında bu yöntemleri inceleyeceğiz.

1) BRACKETING METHODS

 Verilen aralık içinde yapılan iterasyonlar ile köke oldukça yaklaşmayı hedeflenir. Aralık dışına çıkmaz ve her zaman convergence olurlar.

a)Bisection method

b)False Position Method

2)OPEN METHODS

Bracketin mmethoduna göre daha hızlıdır ancak bazen kökten uzaklaşırız. .

a)Newton Rapsen Method

b)The Fixed Point Iteration Method

c)Secant Method

Analize başlamadan önce bir kök ne zaman olur onu görmemiz gerekli.

f(x)=2*x^2-1   gibi bir denklemi ele alalım (bu denklem basit bir denklem olmak ile birlikte konuyu anlatmak için idealdir)

[0,1] aralığında kökü olduğunu kanıtlayalım.

f(0)= 0-1 =-1
f(1)= 2-1=1
f(0)*f(1)=- (negatif yani )
 yani bu denklemin [0,1] arasında bir kökü var

a)Bisection method

f(x)     [a,b] aralığında sürekli olsun
ve yine f(x)'in bu aralıkta bir kökü bulunsun.
f(a)=  -
f(b)= + diye assume edelim.
 Yani
f(a)*f(b)= -
Bu köke ulaşmak için bisection methodunda

c= (a+b)/2         bulunan değer 

f(c) bulunur
EĞER f(c)= -  ise kök [c,b] arasındadır.
EĞER f(c)=+  ise  kök [a,c] arasındadır.

Bu işlem durma koşuluna kadar devam eder. Durma koşulu bağıl hataya göredir.



b)False Position Method

Temeli doğru denkleminden çıkartılmıştır. Bisectiondan daha hızlıdır.





Kaynakça:  Numerical Methods for Engineers Ste